25美亚杯个人赛（资格赛）
以下wp会根据玫幽倩的wp进行参考 原文链接：https://mei-you-qian.github.io/2025/11/21/2025%E7%BE%8E%E4%BA%9A%E6%9D%AF-%E8%B5%84%E6%A0%BC%E8%B5%9B/ 比赛信息案情警方接获报案，前往西贡布袋澳处理一宗“伤人”事件。经初步调查，怀疑男子陈民浩以木棍袭击男子冯子超，导致冯子超头部受伤昏迷。冯子超已被送往医院救治，陈民浩则因涉嫌“伤人”罪被警方当场拘捕，被捕后一直保持缄默，拒绝交代案情细节。 进一步调查显示，两人冲突疑因女子梁燕玲而起。根据现场迹象推断，梁燕玲曾于事发时在场出现，经警方多方搜索后，至今仍未能与她取得联络。请参赛者根据提供的资料，深入分析线索，寻找梁燕玲下落，并还原事件真相。 背景资料Green Technology Supply Co. Ltd.（绿创科技系统有限公司）为本港网络工程公司，主要业务是为企业客户铺设网络服务及安装各类服务器。 男子 FUNG Chi-chiu（冯子超），英文名为Duncan，30岁，未婚，香港出生，在Green Technology Supp...
25美亚杯个人赛（资格赛）
以下wp会根据玫幽倩的wp进行参考 原文链接：https://mei-you-qian.github.io/2025/11/21/2025%E7%BE%8E%E4%BA%9A%E6%9D%AF-%E8%B5%84%E6%A0%BC%E8%B5%9B/ 比赛信息案情警方接获报案，前往西贡布袋澳处理一宗“伤人”事件。经初步调查，怀疑男子陈民浩以木棍袭击男子冯子超，导致冯子超头部受伤昏迷。冯子超已被送往医院救治，陈民浩则因涉嫌“伤人”罪被警方当场拘捕，被捕后一直保持缄默，拒绝交代案情细节。 进一步调查显示，两人冲突疑因女子梁燕玲而起。根据现场迹象推断，梁燕玲曾于事发时在场出现，经警方多方搜索后，至今仍未能与她取得联络。请参赛者根据提供的资料，深入分析线索，寻找梁燕玲下落，并还原事件真相。 背景资料Green Technology Supply Co. Ltd.（绿创科技系统有限公司）为本港网络工程公司，主要业务是为企业客户铺设网络服务及安装各类服务器。 男子 FUNG Chi-chiu（冯子超），英文名为Duncan，30岁，未婚，香港出生，在Green Technology Supp...
SPC:CTF 练练手
1.twoEs11234567891011121314151617181920212223242526272829303132from Cryptodome.Util.number import *import randomflag=b"SPCCTF{********}"p, q = getPrime(512), getPrime(512)n = p * qe1 = random.getrandbits(32)e2 = random.getrandbits(32)import gmpy2s,s1,s2=gmpy2.gcdext(e1,e2)print(s)m = bytes_to_long(flag)c1 = pow(m, e1, n)c2 = pow(m, e2, n)print(f'{n = }')print(f'{e1 = }')print(f'{e2 = }')print(f'{c1 = ...
模运算的基本性质
模运算的基本性质令$ a=qm+r,q,m,r\in Z $ 加法性质$ a\mod m+b\mod m\equiv (a+b)\mod m $ $ a\mod m+b\mod m=(q_1m+r_1+q_2m+r_2)\mod m=((q_1+q_2)m+(r_1+r_2))\mod m=r_1+r_2 $ $ (a+b)\mod m =(q_1m+r_1+q_2m+r_2)\mod m=((q_1+q_2)m+(r_1+r_2))\mod m=r_1+r_2 $ 模可以分配到加法里，也可以从加法里提取出来，这就是分配律和结合律 乘法性质$ a\mod m b\mod m\equiv (ab)\mod m $ $ (a\mod m *b\mod m)\mod m=r_1r_2 $ $ (a*b)\mod m=(q_1m+r_1)(q_2m+r_2)\mod m=(m(q_1q_2m+q_1r_2+q_2r_1)+r_1r_2)\mod m=r_1r_2 $ 幂运算性质$...
二次剩余（Quadratic Residue）
一、定义设p是一个奇素数，a是一个整数，且$ gcd(a,p)=1 $ 如果存在整数x，使得同余方程$ x^2\equiv a(\mod p) $有解，则称a是模p的二次剩余 二、重要性质1.数量分布 对于奇素数p，在1到p-1这p-1个整数中 恰好有$ \frac{p-1}{2} $个二次剩余 恰好有$ \frac{p-1}{2} $个非二次剩余 2.乘法封闭性 $ 二次剩余\times 二次剩余 \equiv 二次剩余 $ $ 二次非剩余\times 二次非剩余 \equiv 二次剩余 $ $ 二次剩余\times 二次非剩余 \equiv 二次非剩余 $ 三、勒让德符号（Legendre Symbol）为了方便表示和计算，数学及引入了勒让德符号$ (\frac{a}{p}) $，定义如下： $ (\frac{a}{p})=\begin{cases}1; 若a是模p的二次剩余\-1; 若a是模p的二次非剩余\0; 若a\equiv 0(\mod p)\end{cases} $ 勒让德符号具有完全积性：$ (\frac{ab}{p})=(\frac...
费马小定理（Fermat's Little Theorem）
如果p是一个质数，且a不是p的倍数（即$ gcd(a,p)=1 $），那么 $ a^{p-1}\equiv 1(\mod p) $ 使用构造集合法证明 定义集合S为： $ S={ 1,2,\cdots ,p-1} $ 该集合中共有$ p-1 $个原色 定义集合T 将集合S中的每一个元素都乘以a，得到新集合T： $ T={ a,2a,\cdots ,a(p-1)} $ 接下来需要证明集合T中的原色在模p下的意义就是集合S的一个重新排列，只需证明： 1.T中没有原色能被p整除 2.T中没有两个元素在模p下相等 对于1. T中的任意元素表现形式为$ ka,k\in [1,p) $ 因为p是质数，且$ k<p $，所以$ p\nmid k $ 已知$ p\nmid a $ 根据欧几里得引理，如果质数p不整除k也不整除a，那么$ p\nmid (ka) $ 因此，T中没有元素能被p整除 对于2. 反证法：假设T中有两个不同的元素$ xa $和$ ya $（其中$ 1\leq x<y\leq p-1 $），它们在模p下相等，就有 $ xa\equiv...
琴生不等式（Jensen's Inequality）
琴生不等式标准形式： 设$ f:I\rightarrow R $是定义在区间$ I\subseteq R $上的下凸函数，$ x_1,x_2,\cdots ,x_n\in I,\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\geq 0,且\sum^{n}_{i=1} \lambda_i=1 $ 则 $ f(\sum^{n}{i=1} \lambda_ix_i)\leq \sum^{n}{i=1} \lambda_if(x_i) $ 当且仅当$ x_1=x_2=\cdots =x_n $是等号成立 使用数学归纳法证明： 当n=1时 左边：$ f(\lambda_1x_1)=f(x_1) $ 右边：$ \lambda_1f(x_1)=f(x_1) $ 左右相等，不等式成立 当n=2时 左边：$ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) $ 右边：$ \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) $ 这正是下...
扩展中国剩余定理
标准的中国剩余定理要求模数$ n_1,n_2,\cdots ,n_k $两两互素，使得 $ \begin{cases}x\equiv a_1(\mod n_1)\x\equiv a_2(\mod n_2)\ \cdots\x\equiv a_k(\mod n_k)\end{cases} $ 在模$ N=n_1n_2\cdots n_k $下有唯一解 但如果模数之间不互素，以上结论便不再成立 但是，同余方程组仍可能有解，此时需使用扩展中国剩余定理，并满足相容性条件 对于模数不互质的情况，我们可以通过合并相邻两组方程的方式来逐步得到解 对于 $ \begin{cases}x\equiv a_i(\mod m_i)\x\equiv a_j(\mod m_j)\end{cases} $ 可以将其转化成一般形式 $ \begin{cases}x+y_im_i=a_i\x+y_jm_j=a_j\end{cases} $ 移项，再合并可得： $ a_i-a_j=y_im_i-y_jm_j $ 现在$ a_i,a_j,m_i,m_j $都是已知的，只有$ ...
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）
引入最早，在《孙子算经》中有这样一个问题：”今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？“ 上面的问题可以转换为以下这样一个方程组： $ \begin{cases}x\mod 3=2\ x\mod 5=3\ x\mod 7=2\end{cases} $ 其中这个x就是我们要求的数。而中国剩余定理就是用来解决上述形式的方程组的x解的 在开始解答这个问题之前，我们先来了解一下几个数论基本知识 $ a\mod b=(a+k*b)\mod b $ $ a\equiv b(\mod c)\leftrightarrow a\mod c=b\mod c $ 解答在了解两个基本不等式之后我们就可以对上述方程组做一些变换了： $ \begin{cases}x=k_13+2\ x=k_25+3\ x=k_3*7+2\end{cases} $ 直接看上面的方程组，好像直接求解出$ k_1、k_2、k_3 $不太现实，所以我们需要另寻出路。在这里我们先假设三个数，分别是$ n_1、n_2、n_3 $，...
（未完）扩展欧几里得算法
欧几里得算法（辗转相除法）求两个数的最大公因数 1234567int gcd(int a,int b){ if (b == 0) return a; else return gcd(b.a%b)} 它的过程大概是这样 为什么欧几里得算法是成立的？ 不妨设$ a>b $,设$ q=\left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor $（相当于C++中的a/b），$ m=a\mod b $（相当于C++中的a%b），$ d_1 =gcd(a,b),d_2 = gcd(b,m) $，那么： 1.a和b都是d1 的倍数 2.那么qb也是d1 的倍数 3.那么a-qb也是d1 的倍数 4.由于a=qb+m，所以m是d1 的倍数 5.所以d1 是b和m的公因数 6.由于d2 =gcd(b,m)，所以d1 是d2 的因数 另一方面： 1.b和m是d2 的倍数 2.那么qb也是d2 的倍数 3.那么a=qb+m也是d2 的倍...