矩阵的乘法定义

两个矩阵能相乘的前提条件：

第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数（中间相等）

乘积矩阵AB的行数等于左边矩阵A的行数

乘积矩阵AB的列数等于右边矩阵B的列数，即

Amn ，Bns ，则AB为m$ \times $s矩阵（取两头）

例题

例1 设矩阵A=$ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} $，B=$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $，求AB,BA

AB=$ \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} $

BA=$ \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \\ 9 & 0 & 3 \\ 4 & -1 & -1 \end{pmatrix} $

矩阵的数乘不满足交换律

例2 设A= $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $，B=$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} $求 $ AB $ 和 $ BA $

AB=$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $

BA无意义

例3 设A=$ \begin{pmatrix}1 \\2 \\3\end{pmatrix} $，B=$ \begin{pmatrix}-1 & 1 & 4 \end{pmatrix} $，求AB,BA

AB=$ \begin{pmatrix}-1&1&4\\-2&2&8\\-3&3&12\end{pmatrix} $

BA=(13)=13

例4 设A=$ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $，B=$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $，C=$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} $，求AB与AC

AB=$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} $

AC=$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} $

例6 判断下列矩阵是否可交换

1.A=$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $,B=$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $;2.A=$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} $,B=$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $

1.AB=$ \begin{pmatrix}2&3\\0&2\end{pmatrix} $,BA=$ \begin{pmatrix}2&3\\0&2\end{pmatrix} $

AB=BA

A,B可交换

2.A,B不是通阶方阵，不可交换

例7 求与A=$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $可交换的所有矩阵

设X=$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $

AX=$ \begin{pmatrix} a & b \\ a+c & b+d \end{pmatrix} $

XA=$ \begin{pmatrix} a+b & b \\ c+d & d \end{pmatrix} $

$ \begin{cases} a=a+b \\a+c=c+d\\b+d=d\end{cases} $$ \leftrightarrow $$ \begin{cases}b=0\\a=d\end{cases} $

∴X=$ \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a \end{pmatrix} $（有无穷个）

矩阵的乘法不满足的规律

1.矩阵的乘法不满足交换律

当AB,BA都有意义时，AB,BA不一定相等（见例1）

矩阵乘积要注意顺序，分左乘还是右乘

AB——A左乘B

BA——A右乘B

AB有意义，BA可能无意义（见例2）

2.矩阵的乘法不满足消去律

若AB=AC，且A≠O，推不出B=C

若BA=CA，且A≠O，推不出B=C

3.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵

若AB=O，推不出A=O或B=O（见例2）

矩阵乘法满足的规律和结论

1.结合律：(AB)C=A(BC)

2.分配律：(A+B)C=AC+BC

C(A+B)=CA+CB

注意：C的左右位置不能改动

3.k(AB)=(kA)B+A(kB)

4.AI=A，IA=A（两个式子中的单位矩阵不同）

单位矩阵I在矩阵乘法中相当于数字1

5.数量矩阵A=$ \begin{pmatrix}a&&&\\&a&&\\&&…&\\&&&a\end{pmatrix} $=aI，则有AB=aB

数量矩阵在矩阵乘法中方相当于数乘

6.$ \begin{pmatrix}a_1 &&&\\&a_2&&\\&&…&\\&&&a_n\end{pmatrix} $$ \cdot $$ \begin{pmatrix}b_1&&&\\&b_2&&\\&&…&\\&&&b_2\end{pmatrix} $ =$ \begin{pmatrix}a_1b_1 &&&\\&a_2b_2&&\\&&…&\\&&&a_nb_n\end{pmatrix} $

矩阵的可交换

若矩阵A,B满足AB=BA，则称A与B可交换，否则，就称A,B不可交换

注：

1.可交换的矩阵一定是同阶方阵

可交换矩阵的条件包括（1）同阶方阵

 （2）**AB=BA**

2.不是同阶方阵，一定不可交换

3.AB,BA不相等，一定不可交换

4.单位矩阵I和任一同阶方阵可交换

5.两个同阶对角形矩阵可交换

如$ \begin{pmatrix}a_1 &&&\\&a_2&&\\&&…&\\&&&a_n\end{pmatrix} $$ \cdot $$ \begin{pmatrix}b_1&&&\\&b_2&&\\&&…&\\&&&b_2\end{pmatrix} $ =$ \begin{pmatrix}b_1&&&\\&b_2&&\\&&…&\\&&&b_2\end{pmatrix} $$ \cdot $$ \begin{pmatrix}a_1 &&&\\&a_2&&\\&&…&\\&&&a_n\end{pmatrix} $=$ \begin{pmatrix}a_1b_1 &&&\\&a_2b_2&&\\&&…&\\&&&a_nb_n\end{pmatrix} $