琴生不等式标准形式：

设$ f:I\rightarrow R $是定义在区间$ I\subseteq R $上的下凸函数，$ x_1,x_2,\cdots ,x_n\in I,\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\geq 0,且\sum^{n}_{i=1} \lambda_i=1 $

则

$ f(\sum^{n}{i=1} \lambda_ix_i)\leq \sum^{n}{i=1} \lambda_if(x_i) $

当且仅当$ x_1=x_2=\cdots =x_n $是等号成立

使用数学归纳法证明：

当n=1时

左边：$ f(\lambda_1x_1)=f(x_1) $

右边：$ \lambda_1f(x_1)=f(x_1) $

左右相等，不等式成立

当n=2时

左边：$ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) $

右边：$ \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) $

这正是下凸函数定义

$ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) $

故不等式成立

现假设对n=k成立，证明对n=k+1成立

当n=k时，有

$ f(\sum^{n}{i=1} \lambda_ix_i)\leq \sum^{n}{i=1} \lambda_if(x_i) $

当n=k+1时

①当某个$ \lambda_i=1 $时，则其余$ \lambda $都为0

比如$ \lambda_{k+1}=1 $

$ f(x_{k+1})\leq f(x_{k+1}) $成立

②所有$ \lambda_i<1 $，特别地，$ \lambda_{k+1}<1 $

令$ \mu =\sum^{k}{i=1}=1-\lambda{k+1} $

定义新的归一化权重

$ \alpha_i=\frac{\lambda_i}{\mu},i=1,2,\cdots ,k $

则$ \sum^{k}_{i=1} \alpha_i=1,且\alpha_i\geq 0 $

于是

$ \sum^{k+1}{i=1} \lambda_ix_i=\mu (\sum^{k}{i=1} \alpha_ix_i)+\lambda_{k+1}x_{k+1} $

记

$ y=\sum^{k}_{i=1} \alpha_ix_i $

则原式左边为：

$ f(\mu y+\lambda_{k+1}x_{k+1}) $

由于$ f $是凸函数，且$ \mu +\lambda_{k+1}=1 $，由$ n=2 $的情形得：

$ f(\mu y+\lambda_{k+1}x_{k+1})\geq \mu f(y)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) $

再有归纳假设，因为$ y=\sum^{k}_{i=1} \alpha_ix_i $，所以：

$ f(y)\leq \sum^{k}_{i=1} \alpha_if(x_i) $

就有

$ \mu f(y)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\leq \mu \sum^{k}{i=1} \alpha_if(x_i)+\lambda{k+1}f(x_{k+1}) $

根据不等式的性质，可得

$ f(\mu y+\lambda_{k+1}x_{k+1})\leq \mu \sum^{k}{i=1} \alpha_if(x_i)+\lambda{k+1}f(x_{k+1}) $

等价于

$ f(\sum^{k+1}{i=1} \lambda_ix_i)\leq \sum^{k+1}{i=1} \lambda_if(x_i) $

得证

同理可得当$ f $为凹函数的情况

设$ f:I\rightarrow R $是定义在区间$ I\subseteq R $上的凹函数，$ x_1,x_2,\cdots ,x_n\in I,\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\geq 0,且\sum^{n}_{i=1} \lambda_i=1 $

则

$ f(\sum^{n}{i=1} \lambda_ix_i)\geq \sum^{n}{i=1} \lambda_if(x_i) $

原文链接：
https://www.yuque.com/fragrantveget/hylc88/wuidiulofdgry7g5?singleDoc# 《琴生不等式（Jensen’s Inequality）》